Question

如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于（其中点在轴的上方）两点.

（1）若线段的长为3，求到直线的距离；

（2）证明：为钝角三角形；

（3）已知且，求三角形的面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）先根据抛物线定义求出点坐标，再根据点斜式求直线的方程，最后根据点到直线距离公式求结果；

（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理化简,根据为负证明结果；

（3）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及面积公式表示三角形的面积，再根据对勾函数单调性求值域.

（1）设，因为，所以，

因此

从而到直线的距离为；

（2）设直线的方程为，

由得

从而，因此为钝角三角形；

（3）因为，所以，由（2）得，所以

因为，所以，

而在上单调递增，所以