Question

是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：

①对任意的，都有；

②存在常数，使得对任意的，都有.

（1）设，问是否属于？说明你的判断理由；

（2）若，如果存在，使得，证明这样的是唯一的；

（3）设为正实数，是否存在函数，使？作出你的判断，并说明理由.

Answer

（1）是，详见解析（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

（1）根据定义逐一验证，即求函数在上值域，再判断是否为子集；根据不等式寻找满足条件的常数；

（2）利用反证法，假设存在两个，根据条件得到，即假设不成立，原命题成立；

（3）先根据条件①解不等式确定，再根据条件②利用恒成立转化为对应函数最值，再解不等式确定.的条件由确定.

（1）因为在上单调递增，所以；

，

所以存在常数，使得对任意的，都有，

综上属于；

（2）设存在，满足，

因为，

所以存在常数，使得，

即，与矛盾，

因此满足条件的是唯一的；

（3）假设存在，则因为，且在上单调递增，所以

，因此；

存在常数，使得对任意的，都有，

，所以，

因为

因此

从而

即当时存在函数，使；否则不存在.