Question

设数列的前n项和为,对一切,点都在函数的图像上.

（1）证明：当时,;

（2）求数列的通项公式;

（3）设为数列的前n项的积,若不等式对一切成立,求实数a的取值范围.

Answer

（1）证明见解析; （2） （3）

【解析】

（1）根据点在函数图像上,代入点坐标,化简后结合即可证明.

（2）根据（1）所得递推公式,递推作差后可得奇偶项分别为等差数列,根据和公差即可求得通项公式.

（3）根据为数列,代入的通项公式求得的表达式,构造函数;代入的通项公式求得函数,根据恒成立求得即可.通过的单调性求得,代入解不等即可得实数a的取值范围.

（1）证明: 因为对一切,点都在函数的图像上

所以,化简可得

当时,

两式相减可得

即（）

原式得证.

（2）由（1）可知

所以

两式相减,可得

所以数列的奇数项公差为4的等差数列,偶数项公差为4的等差数列.

由（1）可知

则当时, 求得

则当时, ,即求得

所以当为奇数时,

所以当为偶数时,

综上可知数列的通项公式为

（3）因为

所以

所以

又因为

所以对一切成立

即对一切成立

只需满足即可

令

则

所以

所以

即为单调递减数列

所以

所以即可,化简可得

解不等式可得,或

故实数a的取值范围为