Question

定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

（1）设，求证：；

（2）已知且，求其“相伴向量”的模；

（3）已知为圆上一点，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）把化为形式，由定义证明；

（2）把化为形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模；

（3）先根据定义得到函数取得最大值时对应的自变量，再结合几何意义求出的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论．

（1），其“相伴向量”为，

∴；

（2）

，

其“相伴向量”为，

∴；

（3）向量的“相伴函数”为，其中，

当时，取得最大值，故，∴，

∴，表示直线的斜率，由几何意义知，令，则，，

当时，单调递减，∴，当时，单调递减，∴，

综上所述，．