Question

如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，为正三角形，D为A的中点，AC=2．

(1)证明：PB⊥AC；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角A—PC—B的余弦值

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）由题意证得，，从而有平面，则；

（2）设三棱锥的高为，，根据体积公式求得，从而平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，又是平面的一个法向量，根据公式可得二面角的余弦值为．

（1）证：为等腰直角三角形，为中点，，

又为正三角形，为中点，，

又，平面，

平面PBD，又平面，

（2）【解析】
设三棱锥的高为，

，

，

，又平面ABC，

如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设为平面的一个法向量，则，即，

令，得，，

又是平面的一个法向量，∴，

由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．