Question

已知函数（是非零实常数）满足，且关于的方程的解集中恰有一个元素．

（1）求的值；

（2）在直角坐标系中，求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）a=1，b=1；（2） ； （3）．

【解析】

（1）由和只有一个解，共同解得的值；

（2）由（1）可知，从而可得，通过换元令，，

再换元，通过二次函数求函数的最小值；

（3）不等式等价于恒成立，分三种情况讨论，结合不等式恒成立问题可求得实数的取值范围.

由条件可知，即，

，即恰有一个元素，

是非零实常数，

，解得：

代入，解得：

所以，；

（2） ，

设图像上任意一点与定点的距离

令

则

令

当，即 ，即，解得：

此时的最小值是.

（3）

，

恒成立恒成立，

即，

（ⅰ）当时，即，恒成立，

即 ，即 ，

（ⅱ）当时，即 ，

同理可得 ，这与矛盾，

（ⅲ）当时，矛盾，

综上可知：.