Question

如图，已知直线是抛物线的准线.过焦点的直线交抛物线于，两点，过点且与直线垂直的直线交抛物线的准线于点.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求的最大值，并求出此时直线的方程.

Answer

（1）（2）的最大值为，直线的方程为

【解析】

（1）根据是抛物线的准线，可求出，即得抛物线的标准方程；

（2）设出直线：，由弦长公式即可求出，

由距离公式求出，即可得到，再根据不等式的性质即可求出的最大值，以及直线的方程．

（1）∵是抛物线的准线，∴，即

∴抛物线的标准方程为．

（2）设直线的方程为

与抛物线方程联立，化简得：

设，，则，

∴

将直线：与直线联立，得

∴，当且仅当时取“=”．

此时直线的方程为．