Question

设，，其中m是不等于零的常数.

（1）时，直接写出的值域；

（2）求的单调递增区间；

（3）已知函数，，定义：，，，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.例如：，，则，，，.当时，恒成立，求n的取值范围.

Answer

（1）；（2）当或，增区间为；当，增区间为；（3）.

【解析】

（1）将，写出的解析式，由基本不等式可知，的值域；

（2）求导，讨论取值范围，判断函数的递增区间；

（3）依题意可得，，再对两个函数进行作差，求出的取范围，从而求得n的取值范围.

（1）时，，，，

的值域，；

（2），

①当时，在，恒成立，所以在，递增；

②当时，，

当时，在，恒成立，所以在，递增；

当时，由可得：，，所以在，递增；

综上所述：当或，增区间为；当，增区间为。

（3）当时，函数，所以函数在递减，在递增，

依题意可得：，，

，

．