Question

如图所示，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）以点为坐标原点，以为轴、轴建立空间直角坐标系，求出向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可；

（2）分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，依题意得，，，，，．

（1）易得，，

于是．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（2）易知，，

设平面的法向量，则即

不妨令，可得．

同样可设面的法向量，得．

于是，从而．

所以二面角的正弦值为．