Question

（1）集合，或，对于任意，定义，对任意，定义，记为集合的元素个数，求的值；

（2）在等差数列和等比数列中，，，是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；

（3）已知当时，有，根据此信息，若对任意，都有，求的值.

Answer

（1），；（2）为正偶数；（3）；

【解析】

（1）由题意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素个数；利用倒序相加法及，即可得到答案；

（2）假设存在，对分奇数和偶数两种情况进行讨论；

（3）利用类比推理和分类计数原理可得的值.

（1）由题意得：集合表示方程解的集合，

由于或，所以方程中有个，个，

从而可得到解的情况共有个，

所以.

令，

所以，

所以，

所以，即.

（2）当取偶数时，中所有项都是中的项.

由题意：均在数列中，当时，

，

说明数列的第项是数列中的第项.

当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中.

综上所述：为正偶数.

（3）当时，有①

当时，②

又对任意，都有③

所以即为的系数，

可取①中、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；

或①中的、②中的；

所以.