Question

如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．

（1）证明：平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离．

（3）若点M在棱BC上，且二面角为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）由条件, O为AC的中点可得，同理，求出的三边长，利用勾股定理可得，从而可证.

（2）由（1）可知，平面平面ABC，作，垂足为H，所以平面POM．所以的长度为点C到平面POM的距离，然后通过解三角形解出即可.

（3）以O为坐标原点，,,的分别为x，轴，建立空间直角坐标系，平面PAC的一个法向量，设，求出平面PAM的法向量为，由，可求出的值，从而可求出PC与平面PAM所成角的正弦值.

证明：因为，O为AC的中点，所以，且．

连接OB．因为，

所以为等腰直角三角形，且，．

在中，，

由知，．

由，且，知平面ABC．

（2）【解析】
作，垂足为H．

又由（1）可得，所以平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知，，．

在中，,

所以，则,

即

又,

所以．

所以点C到平面POM的距离为．

（3）【解析】
如图，以O为坐标原点，,,的分别为x，轴，建立空间直角坐标系，

由已知得，，，，，．

取平面PAC的一个法向量．

在平面内直线的平面直角坐标方程为：，

设（），则．,

设平面PAM的法向量为．

由 ，得

可取，

所以．

由已知可得，

所以，解得（舍去），，

所以．

又，所以．

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为．