Question

已知函数在处的切线斜率为2.

（Ⅰ）求的单调区间和极值；

（Ⅱ）若在上无解，求的取值范围.

Answer

(Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为和 极小值为，极大值为 (Ⅱ)

【解析】

试题

(Ⅰ)结合导函数的解析式有，则，由得或.结合导函数的符号研究函数的性质可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.则函数的极小值为，极大值为；

(Ⅱ)构造新函数，令，由题意可得在上恒成立.其中，研究其分母部分，记，由题意可得.分类讨论：

若，则单调递减.∴恒成立.

若，则在上单调递增.而，故与已知矛盾，舍去.

综上可知，.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）∵，，

∴.

∴，.

令，解得或.

当变化时，的变化情况如下表：

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.

∴函数的极小值为，极大值为；

（Ⅱ）令.

∵在上无解，

∴在上恒成立.

∵，记，

∵在上恒成立，

∴在上单调递减.

∴.

若，则，，

∴.

∴单调递减.

∴恒成立.

若，则，存在，使得，

∴当时，，即.

∴在上单调递增.

∵，

∴在上成立，与已知矛盾，故舍去.

综上可知，.