Question

设a∈R，函数f(x)＝x|x－a|－a.

(1) 若f(x)为奇函数，求a的值；

(2) 若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3) 当a＞4时，求函数y＝f(f(x)＋a)零点的个数．

Answer

（1）0（2）（3）见解析

【解析】

【解析】
(1) 若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．令x＝0，得f(0)＝－f(0)，

即f(0)＝0，所以a＝0，此时f(x)＝x|x|为奇函数．

(2) 因为对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0.

当a≤0时，对任意的x∈[2，3]，f(x)＝x－a≥0恒成立，所以a≤0；

当a>0时，易得f(x)＝在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，

当03时，f(x)min＝min＝min≥0，解得a≥，

所以a≥.

综上，得a≤或a≥.

(3) 设y＝f(f(x)＋a)，令t＝f(x)＋a＝x，则y＝f(t)＝t－a，a>4，

第一步，令f(t)＝0t＝a，

所以，当t0，

解得t1＝，t2＝；

当t≥a时，由f(t)＝0，得t(t－a)＝a，

解得t3＝；

第二步，易得00，且Δ1＝a2－4t1>0，所以方程t2－at＋t1＝0有2个不同的实根；

当x≥a时，x2－ax－t1＝0，记q(x)＝x2－ax－t1，因为对称轴x＝0，所以方程x2－ax－t1＝0有1个实根，

从而方程x＝t1有3个不同的实根；

② 若x＝t2，其中0a时，x2－ax－t3＝0，记r(x)＝x2－ax－t3，因为对称轴x＝0，所以方程x2－ax－t3＝0有1个实根；

当x≤a时，x2－ax＋t3＝0，记s(x)＝x2－ax－t3，因为对称轴x＝0，且Δ3＝a2－4t3，a2－4t3>0a3－4a2－16<0，

记m(a)＝a3－4a2－16，则m′(a)＝a(3a－8)>0，

故m(a)为(4，＋∞)上的增函数，且m(4)＝－16<0，m(5)＝9>0，

所以m(a)＝0有唯一解，不妨记为a0，且a0∈(4，5)．

若4a0，即Δ3>0，方程x2－ax＋t3＝0有2个实根．

所以，当4a0时，方程x＝t3有3个实根．

综上，当4a0时，函数y＝f的零点个数为9.