Question

在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 曲线的极坐标方程为，与交于点.

（1）写出曲线的普通方程及直线的直角坐标方程，并求；

（2）设为曲线上的动点，求面积的最大值.

Answer

（1）；；；（2）

【解析】

（1）对曲线的参数方程移项、平方相加，消去参数；由直线的极坐标方程可得直线的普通方程；将代入曲线方程中，求得，进而求得；

（2）将极坐标方程化为直角坐标方程得椭圆的方程，再设点坐标为，求出点到直线的最大距离，即可得到面积的最大值.

（1）因为曲线（为参数），则，

所以曲线的普通方程为：；

直线：的普通方程为：；

将代入，解得：，

所以.

（2）曲线的普通方程为，设，

则点到直线的距离，

当时，等号成立，

所以面积的最大值为.