Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析（2）．

【解析】

解法一：

（1）根据线面垂直的判定定理由已知的垂直的关系，可得到线面垂直，这样可以得到线线垂直，最后根据直角和线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PAC；

（2）结合（1）的结论、已知的平行线，根据线面角的定义，通过计算求出AD与平面PAC所成的角的正弦值．

解法二：建立空间直角坐标系.

（1）利用空间向量的数量积运用，证明线线垂直，再结合已知的垂直关系证明出线面垂直；

（2）利用空间向量夹角公式，求出AD与平面PAC所成的角的正弦值.

（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB＝A，

∴PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，

∴AC⊥BC．

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，

∴DEBC，

又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA＝AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，

∴ADAB，

∴在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，

∴BCAB．

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE，

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．

（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设PA＝a，

由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．

（1）∵，，

∴，

∴BC⊥AP．

又∵∠BCA＝90°，

∴BC⊥AC，

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，

∴E为PC的中点，

∴，，

∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵（），（0，a，a），

∴cos∠DAE，sin∠DAE．

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为．