Question

平面直角坐标系中，点、，平面内任意一点P满足：直线的斜率，直线的斜率，，点P的轨迹为曲线．双曲线以曲线的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线上不同于顶点的任意一点，直线的斜率，直线的斜率、

(1)求曲线的方程；

(2)如果，求双曲线的焦距的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）利用列方程，化简后求得曲线的方程.

（2）由（1）设出双曲线的方程，设出点坐标并代入双曲线方程，利用列不等式，解不等式求得的取值范围，由此求得双曲线的焦距的取值范围.

(1)设，

则，

∴曲线的方程为；

(2)设双曲线的方程为，

在双曲线上，所以，

∵，

∴，∴，

由双曲线的焦距为，

故双曲线的焦距的取值范围．