Question

已知椭圆：，是轴正半轴上一动点，若以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，则的取值范围是_____.

Answer

【解析】

联立椭圆方程与圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，把圆与椭圆至多有两个交点转化为关于的一元二次方程在至多有一个根，再根据根的分布得到的取值范围.

联立方程消去得：，

因为以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，

由于圆和椭圆的对称性，所以关于的方程对任意，在至多有一个根.

令，对称轴，

因为在轴正半轴，所以.

当时，即，方程在至多有一根，符合题意；

当，即，方程在至多有一根，则必有

或，对任意恒成立，

即或对任意的恒成立，其中，

因为，，

所以两个不等式对任意的都不会恒成立，所以不符合题意.

故填：.