Question

已知函数为定义在上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）解关于的不等式；

（3）设，当时，函数的最小值为，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用列方程，由此求得的值.

（2）利用函数单调性的定义证得在上为单调递增函数，结合为奇函数化简所求不等式，由此求得不等式的解集.

（3）利用换元法化简解析式，利用最小值列方程，结合的取值范围，求得的取值范围.

（1）为定义在上奇函数，

在上恒成立，

，

在上恒成立，等价于，即；

（2），任取，

即在上为单调递增函数，

为奇函数， 等价于，

在上为单调递增函数，

，

（3）

令

由解得或（舍去），

即，

由三角函数图像可知，即.