Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ

（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出的坐标，由向量积的运算易得；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案.

如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）依题意有，，，

则，，，所以，，

即⊥，⊥.且,

故⊥平面.

又平面，所以平面⊥平面.

（II）依题意有，=，=.

设是平面的法向量，则即

因此可取

设是平面的法向量，则

可取所以,

且由图形可知二面角为钝角

故二面角的余弦值为