Question

设函数.

（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时.

Answer

（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析

【解析】

试题（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.

当时,，没有零点；

当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;

当时，.

故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.

由于，所以.

故当时，.