Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

（I）证明：CE∥平面PAB；

（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

Answer

（I）见解析；（II）.

【解析】

试题本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．满分15分．

（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值．

试题解析：

（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．

因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，

又因为，，所以且，

即四边形BCEF为平行四边形，所以，

因此平面PAB．

（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．

因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF中，MQ//CE．

由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD．

由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．

所以AD⊥平面PBN，

由BC//AD得BC⊥平面PBN，

那么平面PBC⊥平面PBN．

过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．

设CD=1．

在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，

在Rt△MQH中，QH=，MQ=，

所以sin∠QMH=，

所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．