Question

设有一组圆，下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点；其中真命题的个数为（     ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

B

【解析】

根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．

【解析】
根据题意得：圆心，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系，

圆：圆心，半径为，

圆：圆心，，即，半径为，

两圆的圆心距，

两圆的半径之差，

任取或2时，，含于之中，选项①错误；

若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将带入圆的方程，则有，即，

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．

则正确命题是②④．

故选：．