Question

已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后的各项的最小值记为，设.

（1）若为，是一个周期为4的数列，写出的值；

（2）设d为非负整数，证明：）的充要条件是是公差为d的等差数列．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据定义依次找出即可求出的值；

（2）根据定义分别证明充分性和必要性，d为非负整数，是公差为d的等差数列，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列.

（1）若为，是一个周期为4的数列，

，

，

，

；

（2）充分性：设d为非负整数， 是公差为d的等差数列，

则，

所以；

必要性：设d为非负整数，

若，假设是第一个使的项，

则

与相矛盾，所以是一个不递减的数列，

则，即

所以是公差为d的等差数列.