Question

设函数，，其中，e是自然对数的底数．

（1）若在上存在两个极值点，求a的取值范围；

（2）当，设，，若在上存在两个极值点，，且，求证： ．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）在上存在两个极值点，则有两根，再分离参数，借助导数研究即可；

（2）要证即证，在上存在两个极值点，，且，即有两个零点，，可得，设，则，，即证，，即当时，，设函数，，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.

【解析】
（1），由题意可知，在上有两个不同的实数根，

即，只需函数和图象有两个交点，

，易知在上为减函数，且，

当时，，为增函数；当时，，为减函数；

所以，所以，又当，，，，

要使在上存在两个极值点，则．

故的取值范围为．

（2）易得，

在上存在两个极值点，，且

有两个零点，，

则，解得

于是

又，设则，因此，

要证，即证，

即当时，，设函数，，则

所以，为上的增函数，又，因此

于是，当时，有，

所以，有成立，即，得证