Question

设函数．

（1）若是偶函数，求的值；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由偶函数的定义，作差变形后可求出实数的值；

（2）由已知代入可得，不等式两边同时除以可得出，换元，可得出，利用二次函数的单调性求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（3）求出，换元，由此可得出函数在上有零点，利用参变量分离法得出，利用单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.

（1）若是偶函数，则，即

即，则，即；

（2），即，即，

则，设，，.

设，则，

则函数在区间上为增函数，

当时，函数取得最大值，.

因此，实数的取值范围是；

（3），则，

则，

设，当时，函数为增函数，则，

若在有零点，即在上有解，即，即，

函数在上单调递增，则，即.，因此，实数的取值范围是.