Question

已知为实数，函数，且函数是偶函数，函数在区间上的减函数，且在区间上是增函数.

（1）求函数的解析式；

（2）求实数的值；

（3）设，问是否存在实数，使得在区间上有最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据题意，函数是偶函数，则，得可求出的值，即可得出的解析式。

（2）根据题意， ，令，得，再根据函数的单调性得出实数的值。

（3）根据题意分类讨论，求出函数的最小值，利用在区间上有最小值为得出结论。

（1）函数是偶函数，

，

，

，

；

（2），

令，，

在区间上，是减函数，且，

由是减函数，可知为增函数；

在区间上，是减函数，且，

由是增函数，可知为减函数，

由在上是减函数，上是增函数，

可得二次函数开口向上，，且，；

（3），．

，，；

，，

或，舍去；

，，，

综上所述，或 ．