Question

已知函数，且在区间上的最大值比最小值大．

（1）求的值；

（2）若函数在区间的最小值是，求实数的值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）分和两种情况讨论，分析出函数在区间上的单调性，可得出该函数的最大值和最小值，再结合题中条件得出关于的方程，解出即可；

（2）设，利用单调性的定义证明出函数在上为增函数，可得出，可得出，并构造函数，对参数分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出该函数的单调性，结合最小值为可求出实数的值.

（1）当时，函数在区间上单调递增，

则该函数的最大值为，最小值为，

由题意得，解得，或（舍去）；

当时，函数在区间上单调递减，

则该函数的最大值为，最小值为，

由题意得，即，该方程无实数解．

综上；

（2）函数，

令，，任取，

因，

，所以，有，，所以．

则函数在上单调递增，故．

令，因此，，所以问题转化为：

函数在上有最小值，求实数的值．

因，对称轴方程为，

当时，即当时，函数在上单调递增，

故，由，解得与矛盾；

当时，即当时，，

由，解得或（舍去）.

综上，．