Question

已知函数，设函数的所有零点构成集合，函数的所有零点构成集合．

（1）试求集合、；

（2）令，求函数的零点个数．

Answer

（1），；（2）见解析.

【解析】

（1）解方程，可得出集合，然后解方程和，可得出集合；

（2）令，由，可得出，对分、和三种情况讨论，在时，求出方程的两根、，然后讨论方程和的判别式、的符号，综上可得出函数的零点个数.

（1），令，解得，，故；

令，则，由上面知，函数的零点为和.

当时，，即，解得，；

当时，，即，解得，

故；

（2）令，，令.

①当，

即时，方程（*）无实数解，函数零点个数为个；

②当时，解方程（*），得，由，得，

因为，

所以该方程有两实数解，从而函数的零点个数为个；

③当时，解方程（*）得，，，

由，得，，

由，得，，

因为，所以方程（***）必有两实数解；

若，即时，方程（**）无实数解，从而函数的零点个数为个；

若，即时，方程（**）有两个相等的实数解，从而函数的零点个数为个；

若，即时，方程（**）有两个不等的实数解，从而函数的零点个数为4个．

综上所述，当时，函数的零点个数为个；

当或时，函数的零点个数为个；

当时，函数的零点个数为个；

当时，函数的零点个数为个．