Question

一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8．

【解析】

（Ⅰ）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由消去，可得．

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即． ①

又由可得；同理可得．

由原点到直线的距离为和，可得

． ②

将①代入②得，．

当时，；

当时，．

因，则，，所以，

当且仅当时取等号．

所以当时，的最小值为8．

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．