Question

定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．

（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是              （直接填写序号）；

（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；

（3）若为线周期函数，求的值.

Answer

（1）③；（2）见解析；（3）1

【解析】

试题（1）根据新定义判断即可，
（2）根据新定义证明即可，
（3）为线周期函数，可得存在非零常数，对任意，.．即可得到，解得验证即可．

试题解析：

（1）③；

（2）证明：∵为线周期函数，其线周期为，

∴存在非零常数，对任意 ，恒成立.

∵,

∴ .

∴为周期函数.

（3）∵为线周期函数，

∴存在非零常数，对任意，.

∴．

令，得；令，得；

①②两式相加，得.

∵，∴．检验：

当时，．存在非零常数，对任意，

，

∴为线周期函数，综上，.