Question

已知数列的前项和为，，且（），数列满足，，对任意，都有；

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

Answer

（1），；（2）；

【解析】

(1)利用，再写一式，两式相减，再利用累乘法即可求数列的通项公式；由题意判断数列为等比数列，直接写出通项公式； (2)利用错位相减法求数列的和，在将不等式转化为恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数的取值范围.

(1)因为，所以当时，，两式相减得，

所以，即，

所以，

满足上式，故数列的通项公式.

由题意知是以为首项，为公比的等比数列，所以.

(2)因为①，

所以②，

由①②得

所以.

又，所以不等式

即为，即恒成立，

构造函数（），

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，

综上所述，实数的取值范围是