Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足，a₁＝2，b₁＝1，且对任意正整数n恒满足2a_n+1＝4a_n+2b_n+1，2b_n+1＝2a_n+4b_n﹣1.

（1）求证：{a_n+b_n}为等比数列，{a_n﹣b_n}为等差列；

（2）求证（n＞1）.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1），．两式相加相减分别可得：，．又，，化简即可证明结论．

（2）由（1）可得：．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论．

证明：（1），．

两式相加相减分别可得：，．

，．

又，，

为等比数列，首项为3，公比为3．

为等差列，首项为1，公差为1．

（2）由（1）可得：．

利用数学归纳法先证明：．

时，，成立．

假设时成立，即．

时，

，

因此左边不等式成立．

利用数学归纳法先证明：．

时，，成立．

假设时，．

则时，

，

右边不等式成立．

综上可得：