Question

如图，已知四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心．

（1）求二面角的大小（用反三角函数表示）；

（2）过作，垂足为，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；

（3）将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据三垂线定理，取中点，连接和，所以，则即为二面角的平面角，解三角形即可求出二面角的大小；

（2）按照圆锥的定义可知，绕直线旋转一周所形成的几何体为两个圆锥的组合体，计算出圆锥底面半径以及圆锥的高，即可求出体积；

（3）取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设出A点坐标，求出和，利用向量的夹角公式可求出，最后根据平面几何知识即可求出的取值范围．

（1）取中点，连接和，因为点在平面的射影在中线上，

所以，由二面角的定义可知，即为二面角的平面角．在中，，，

所以，即，

所以二面角的大小为．

（2）过作，经计算得，

由此得，

所以绕直线旋转一周所形成的几何体的体积：

．

（3）取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

设，则，，

所以，

在平面上，点的轨迹方程为，

令，则，

所以，

于是．