Question

（1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；

（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；

（3）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）作图见解析；（3）存在，

【解析】

（1）根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为，显然直线经过椭圆中心原点；

（2）由（1）知，平行弦的中点轨迹必过椭圆中心，所以作出两组平行弦的中点轨迹所在直线，两条直线的交点即为椭圆的中心；

（3）由（1）的结论可知，．设出直线和弦的中点坐标，即可求得中点所在的轨迹方程为椭圆方程．当或时，平行弦的轨迹可以在直线上，不总在椭圆上．

（1）证明：设斜率为的直线与椭圆交于点两点，．

中点坐标为，所以 ，

所以，，作差得，，

即有，即，再根据中点在椭圆内部，所以，即

，解得．

故平行弦的中点的轨迹方程为，，

所以椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹过椭圆中心．

（2）如图所示，点即为椭圆中心．

（3）由（1）的结论可知，．

设交“果圆”于两点，中点为，则，，则，即．

易证，

当或时，“果圆”的平行弦的轨迹可以在直线上，不总在椭圆上．

所以，当时，“果圆”的平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．