Question

已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、.

（1）若为等边三角形，求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）由椭圆的两个焦点坐标、，短轴的两个端点、，以及为等边三角形，列出方程组，解出、的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）由题干条件求出椭圆的标准方程，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算，代入韦达定理求出的值，即可求出直线的方程.

（1）椭圆的两个焦点分别为、，

短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形，

则，解得，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）椭圆的短轴长为，得，

又椭圆的两个焦点分别为、，则，

所以，椭圆的标准方程为.

由题意可知，直线不可能与轴重合，

设直线的方程为，设点、，

将直线的方程与椭圆的标准方程联立，

消去得，.

由韦达定理得，，

由于以为直径的圆经过点，则，

且，，

，解得.

因此，直线的方程为或.