Question

已知数列的前项和为，对于任意满足，且，数列满足，，其前项和为.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求证：对于任意正整数，都有；

（3）将数列、的项按照“当为奇数时，放在前面”，“当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”得到一个新的数列：、、、、、、、、求这个新数列的前项和.

Answer

（1），；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而可得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求出数列的前项和，即可证明出；

（3）求出数列的前项和，对进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出.

（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，.

当时，.

也适合上式，所以，.

，即，

所以，数列为等差数列，设其公差为，则，

，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则.

由题意可得，解得，

因此，；

（2），

，①

则，②

①②得，

化简得；

（3）数列的前项和为，

数列的前项和为，

①当时，；

②当时，，

特别地，当时，也适合上式；

③当时，.

综上所述，.