Question

设函数.

（1）当时，证明：在区间上是增函数；

（2）当，函数的零点个数，并说明理由；

（3）求函数的对称中心，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）.

【解析】

（1）化简函数的解析式，根据单调性的定义可证明出函数在区间上是增函数；

（2）判断函数在各区间的单调性，从而得出结论；

（3）将函数进行平移变换构造一个奇函数即可得出对称中心.

（1）当时，，

任取、且，即，

，

，，，，，.

，，则，即，

因此，函数在区间上为增函数；

（2）当时，，

显然当时，函数为增函数，其中、、、、，

当时，，当时，，

所以，函数在区间上有且只有一个零点；

又当时，，

当时，，

所以，函数在和上没有零点，

因此，函数共有个零点；

（3），

构造函数，

可知，函数的定义域为，关于原点对称，

，

所以，函数为奇函数，其对称中心为坐标原点，

且有，

为了得到函数的图象，可将函数的图象向上平移个单位长度，向左平移个单位长度即可.

因此，函数图象的对称中心坐标为.