Question

已知椭圆经过点，，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点、.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，求面积的最大值；

（3）若，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求出后可得椭圆的标准方程.

（2）设直线，求出的坐标后可用表示，利用双勾函数的性质可求其最大值.

（3）令，，则可得，利用同角的三角函数的基本关系式可证为定值5.

（1）由题设有，故，所以椭圆的标准方程为.

（2）直线的斜率必存在，设直线，

由可得，

故即，故，

同理，.

所以

，

令，则，则，且令,

任意的，，

因为，所以即，

所以为增函数，所以，

当且仅当时等号成立，故的最大值为.

（3）设，，

所以即为，而，所以，

故即.

又

，

故为定值5.