Question

已知函数（是非零实常数）满足且方程有且仅有一个实数解.

（1）求的值

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围

（3）在直角坐标系中，求定点到函数图像上的任意一点的距离的最小值，并求取得最小值时的值

Answer

（1），；（2）；（3）当或时，取得最小值，最小值为

【解析】

（1）由可得；将化为，由方程仅有一个实数解可确定，从而求得；

（2）将不等式化为对恒成立，分别在、和三种情况下，采用分离变量的方式求得的取值范围，进而得到结果；

（3）设，由两点间距离公式可整理得，令可得到，根据二次函数的性质可求得最值点和最值.

（1） ，即

由得：

有且仅有一个实数解 ，解得：

（2）由（1）知：

可化为：

即对恒成立

当时，不等式为，显然不成立，不合题意；

当时， ，解得：；

当时， ，解集为；

综上所述：的取值范围为

（3）设

则

令，则

当，即时，

当或，即或时，取得最小值，最小值为