Question

对于数列，若（是与无关的常数,）则称数列叫做“弱等差数列”已知数列满足：且,对于恒成立，（其中都是常数）

（1）求证：数列是“弱等差数列”，并求出数列的通项公式

（2）当时，若数列是单调递增数列，求的取值范围

（3）若，且，数列满足：，求

Answer

（1）证明见解析；；（2）；（3）

【解析】

（1）由与已知等式作差可证得，从而证得结论；分别在和两种情况下利用等差数列通项公式求得通项，从而得到结果；

（2）由数列的单调性得到，从而得到恒成立的不等式，解不等式可求得结果；

（3）采用裂项相消的方式可得到；由极限的思想可得到，从而整理可得到，代入通项公式可求得结果.

（1）由得：

为常数 数列为“弱等差数列”

当为奇数时，设，则成等差数列，公差为

当为偶数时，设，则成等差数列，公差为

综上所述：

（2）当，时，

是单调递增数列

由得：；由得：

综上所述：的取值范围为

（3）