Question

已知函数，.

（1）若对任意实数，关于的方程：总有实数解，求的取值范围；

（2）若，求使关于的方程：有三个实数解的的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得知函数的值域为，根据二次函数的基本性质可得函数在区间上的值域，以及该函数在区间上的值域，可得出，从而可得出实数的取值范围；

（2）由题意得出，可知不是方程的根，由参变量分离法得出，令，将问题转化为直线与函数的图象有三个公共点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.

（1）原问题等价为函数的值域为.

当时，，

所以，函数在区间上的值域为；

当时，，

则函数在区间上单调递增，此时.

所以，函数在区间上的值域为.

由题意可得，.

因此，实数的取值范围是；

（2）当时，，可知不是方程的根，

当时，由，得，令，

则，所以，直线与函数的图象有三个公共点.

当时，由双勾函数的单调性可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，此时，函数取得最小值，即；

当时，，

由于函数和函数都是减函数，则函数在区间上为减函数.

作出函数和直线的图象如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，

因此，实数的取值范围是.