Question

已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的通项，求数列的前项和；

（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数n，均有总成立？若成立，求出t；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；；（2）；（3）存在最大的整数，使得对任意的正整数n，均有总成立

【解析】

（1）先求出，然后求出，利用数列为等比数列，可求得，从而可求得数列的通项公式；利用，可求得数列是一个首项为1公差为1的等差数列，从而可求得的通项公式，进而可得的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前项和;
（3）利用裂项法知，，于是可求得，可得不等式恒成立，转化为最值求得的范围，进而可得最大的整数．

【解析】
（1），故，
，
，

，
又数列为等比数列，，
，又公比，
；
，
又，
；
∴数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，
，于是；
当；
；

（2）由（1）知,

，

，

两式相减得：

；
（3），

，

因为总成立，即总成立，

对任意的正整数n均成立，

又，

，得，

故存在最大的整数，使得对任意的正整数n，均有总成立．