Question

已知函数.

（1）当a=2，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer

（1）见解析；(2)

【解析】

（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可．

（1）当a=2时，，令，解得x=1.

列表：

x

1

—

0

+

极小值

所以，当x=1时，有极小值，没有极大值

（2）①因为. 所以，.

当时，，

所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意，

当时，由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，即为最小值.

1°当时，在上单调递减，在上单调递增，

只有一个零点，不合题意；

2°当时，，故，最多有两个零点.

注意到，令,

取，使得，下面先证明；

设，令，解得.

列表

x

—

0

+

极小值

所以，当，有极小值.

所以，故，即.

因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，

又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意

3°当时，，故，最多有两个零点.

注意到，取，

则

，

因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，

又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意.

综上所述，实数a的取值范围是.