Question

某游戏棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；

（2）证明：；

（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.

Answer

（1）分布列见解析，数学期望；（2）见解析；（3）游戏不公平.

【解析】

（1）由题意得出随机变量的可能取值有、、、，求出相应的概率，由此可得出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望；

（2）棋子要到第站，分两种情况讨论：一是由第站跳站得到，二是由第站跳站得到，可得出，变形后可得出结论；

（3）根据（2）中的的递推公式得出和的大小关系，从而得出结论.

（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，

，，

，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，；

（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：

由第站跳站得到，其概率为；

可以由第站跳站得到，其概率为.

所以，.

同时减去得；

（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率为，

由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.

所以，即最终棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戏不公平.