Question

已知函数，.

（1）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围.

（2）设函数，在（1）的条件下，试判断在区间上是否存在极值.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在上不存在极值；当时，在上存在极值，且极值均为正．

【解析】

试题（1）不等式恒成立问题，一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题：的最大值，利用导数研究函数最值，易得在上单调递减，所以，因此，（2）即研究导函数的零点情况，先求导数，确定研究对象为，再求目标函数导数，确定单调性：先增后减，两个端点值都小于零，讨论最大值是否大于零，最后结合零点存在定理确定极值点个数.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

设函数，．

则．

∵，∴．

∴当时，．

∴在上单调递减．

∴当时，．

∴，即的取值范围是．

（Ⅱ），．

∴．

设，则．

由，得．

当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减．

且，，．

据（Ⅰ），可知．

（ⅰ）当，即时，即．

∴在上单调递减．

∴当时，在上不存在极值．

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得，且．

当变化时，，，的变化情况如下表：

-

0

+

0

-

-

0

+

0

-

↘

极小值

↗

极大值

↘

∴当时，在上的极值为，且．

∵．

设，其中，．

∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．

∵，∴．

∴当时，在上的极值．

综上所述：当时，在上不存在极值；当时，在上存在极值，且极值均为正．

注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．