Question

数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点、，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ）

参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为.

A. B.，

C.， D.

Answer

A

【解析】

设点的坐标为，由重心的坐标公式求得该三角形的重心坐标，代入欧拉线方程得一方程，求出线段的垂直平分线方程，和欧拉线方程联立求出三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得出另一方程，两方程联立可求出点的坐标.

设点的坐标为，由重心的坐标公式可知的重心为，

代入欧拉线方程得，整理得，①

线段的中点坐标为，直线的斜率为，

线段的垂直平分线方程为，即，

联立，解得，所以，的外心为，

则，整理得，②

联立①②得或，

当，时，点、重合，舍去，因此，顶点的坐标是.

故答案为：.