Question

已知数列的前项和为，且

（）求数列的通项公式；

（）若数列满足，求数列的通项公式；

（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

⑴；⑵.

【解析】

试题（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：

两式相减得：又

当时,所以

（3） 因为

所以当时,

依据题意,有即

分类讨论，为奇数或偶数，分离参数即可求出的取值范围是

试题解析：⑴ 由得两式相减,得

所以由又得

所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．

⑵ 由 ⑴ 知

由

得

故即

当时,所以

⑶ 因为

所以当时,

依据题意,有即

①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．

又随增大而增大,

则当且仅当时,故的取值范围为

②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,

故的取值范围为

又当时,由

得

综上可得,所求的取值范围是