Question

已知向量，，，，函数，的最小正周期为．

（1）求的单调增区间；

（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

（3）是否存在实数m满足对任意x₁∈[-1，1]，都存在x₂∈R，使得++m（-）+1＞f（x₂）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为

【解析】

（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．

（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；

（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．

（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1

＝sin（2ωx）cos（2ωx）

＝2sin（2ωx）

∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0

∴，

∴ω＝1．

那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）

令2x，k∈Z

得：x

∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．

（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，

转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．

∵x在[0，]上，

∴（2x）

那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，3]，结合图象可知

函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．

那么2n＜1或2n＝3，

可得或n＝．

（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）

∴f（x2）min＝﹣2．

实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，

使得m（）+1＞f（x2）成立．

即m（）+1＞﹣2成立

令ym（）+1

设t，那么（）2+2＝t2+2

∵x1∈[﹣1，1]，

∴t∈[，]，

可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．

令g（t）＝t2+mt+5＞0，

其对称轴t

∵t∈[，]上，

∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；

②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；

③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；

综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．