Question

已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过作直线，交（1）中轨迹于两点，若中点的纵坐标为，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）利用直接法，求动圆圆心P的轨迹T的方程；

（2）法一：由（1）得抛物线E的焦点C（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，求出线段AB中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程．

法二：设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理，求出m即可．

（1）设P（x，y），则由题意，|PC|﹣（x），

∴x+1，

化简可得动圆圆心P的轨迹E的方程为y2＝4x；

（2）法一：由（1）得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点C（1，0）

设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则

两式相减．整理得

∵线段AB中点的纵坐标为﹣1

∴直线l的斜率

直线l的方程为y﹣0＝﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2＝0.

法二：由（1）得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点C（1，0）

设直线l的方程为x＝my+1

由消去x，得y2﹣4my﹣4＝0

设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

∵线段AB中点的纵坐标为﹣1

∴

解得

直线l的方程为即2x+y﹣2＝0.