Question

已知函数（）.当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的相关函数.

（1）解关于的不等式；

（2）对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，求的取值范围；

（3）设函数，.当时，求的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用对数函数的单调性可解不等式.

（2）先求出，再考虑不等式对任意的恒成立后可得实数的取值范围.

（3）当时，，令，求出的最小值后可得的最大值.

（1）依题，则，所以

所以原不等式的解集为.

（2）由题意，所以.

所以的相关函数为.

依题意，对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，

即当，恒成立①.

由对任意的总成立，，结合题设条件有.

在此条件下，①等价于时，恒成立，

即，即.

设，

要使时，恒成立，

只需即成立，解得，即的取值范围是.

（3）由（2）可得当时，在区间上，.

即，

设，则.

令，则，

所以，

因为（当且仅当时等号成立），

可得，当时等号成立，满足，则的最大值为，

所以的最大值是.